Question

14．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，當(dāng)x，y取何值時，x²+y²取得最大值，最小值？最大值，最小值各是多少？

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，x²+y²可看成陰影部分內(nèi)的點到原點的距離的平方，從而解最值．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域，

x²+y²可看成陰影部分內(nèi)的點到原點的距離的平方，由圖可知，
當(dāng)取點B時有最大值，
由y=3x-3與x=2y-4聯(lián)立解得，
x=2，y=3；即B（2，3）；
所以當(dāng)x=2，y=3時，x²+y²的最大值為2²+3²=13，
原點到直線y=-2x+2的距離的平方是其最小值，
d=$\frac{2}{\sqrt{4+1}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以x²+y²最小值是$（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}=\frac{4}{5}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$，即x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$時，x²+y²的最小值為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃，關(guān)鍵是作圖要細(xì)致認(rèn)真，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值；屬于中檔題．