Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+

3

sin2x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若方程f（x-

π

6

）+4sinx+1=a在x∈[

π

6

，

π

2

]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角方程,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2x-

π

6

=kπ，得x=

π

12

+

kπ

2

，由此能求出f（x）的零點(diǎn)．
（2）由已知得a=4(sinx+

1

2

)2-2，由此利用已知條件能推導(dǎo)出a∈[2，7]．

解答： 解：（1）f(x)=1-cos2x+

3

sin2x-1=2(sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

)=2sin(2x-

π

6

)
令：2x-

π

6

=kπ，得x=

π

12

+

kπ

2

，所以f（x）的零點(diǎn)為x=

π

12

+

kπ

2

（2）a=f(x-

π

6

)+4sinx+1=2sin(2x-

π

3

-

π

6

)+4sinx+1=-2cos2x+4sinx+1
=-2（1-2sin²x）+4sinx+1
=4sin²x+4sinx-1
=4(sinx+

1

2

)2-2
當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，sinx∈[

1

2

，1]，4(sinx+

1

2

)2-2∈[2，7]
因?yàn)?span id="e7w2biv" class="MathJye">f(x-

π

12

)+4sinx=a在x∈[

π

6

，

π

2

]上有解，所以a∈[2，7]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．