Question

在（1-x）³（1+x）⁸的展開式中，含x²項的系數(shù)是n，若(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則a₁+a₂+…+a_n=（　　）

• A、1
• B、-1
• C、1-8⁷
• D、-1+8⁷

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：由已知條件求得n=7，可得(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=（8-7x）⁷，令x=0求得 a₀，再令x=1可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，從而求得a₁+a₂+…+a_n的值．

解答： 解：∵（1-x）³（1+x）⁸=[1+

C

1 3

（-x）+

C

2 3

•（-x）²+

C

3 3

•（-x）³]•[

C

0 8

•x0+

C

1 8

•x1+…+

C

8 8

•x8]，
∴含x²項的系數(shù)是n=

C

2 8

+

C

1 3

•（-1）•

C

1 8

+

C

2 3

=7．
∵(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=（8-7x）⁷，
令x=0可得 a₀=8⁷．
再令x=1可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，∴a₁+a₂+…+a_n=1-8⁷，
故選：C．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．