Question

 已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

  （1）求n，m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對任意實數(shù)0<x1<x2<1, 關(guān)于x的方程：

        在（x1,x2）恒有實數(shù)解

  （3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點x0，使得.如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<a<b時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

Answer 1

解：(1)因為f’(x)=3mx2+2nx,       

 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m       

  即f’(x)=3mx2-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

當(dāng)m>0時得x<0或x>2，f(x)的減區(qū)間為（0，2）；   

當(dāng)m<0時得：0<x<2,f(x)的減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）； 

綜上所述：當(dāng)m>0時，f(x)的減區(qū)間為（0，2）；

當(dāng)m<0時,f(x)的減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）； 

 

可化為3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2- 

則h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),

即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3)      又因為0<x1<x2<1,所以(2x1+x2-3)<0,(x1+2x2-3)<0, 即h(x1)h(x2)<0, -

故h(x)=0在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有解，

即關(guān)于x的方程在（x1,x2）恒有實數(shù)解-

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)，   -----------10分

則g(x)符合拉格朗日中值定理的條件,即存在x0∈（a,b）,使  

因為g’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0   

即