Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形BB₁C₁C是長方形，BB₁⊥AB，CA=CB，
A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E，F(xiàn)分別是AB，AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求證：平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BC₁，可證EF∥BC₁，從而證明EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 連結(jié)A₁E，CE，可證C₁A₁EC是平行四邊形，可得A₁C₁∥EC，即證明B₁B⊥EC，可證EC⊥平面ABB₁A₁，有A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，即可證明平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，連結(jié)BC₁．
∵E，F(xiàn)分別是AB，AC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BC₁．
∵BC₁?面BB₁C₁C，EF?面BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．…（4分）

（Ⅱ） 如圖，連結(jié)A₁E，CE．
∵AB∥A₁B₁，AB=2A₁B₁，E為中點(diǎn)，
∴BE∥A₁B₁，且BE=A₁B₁，即A₁B₁BE是平行四邊形，
∴A₁E∥B₁B，且A₁E=B₁B．
由四邊形BB₁C₁C是長方形，知C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，
∴A₁E∥C₁C，且A₁E=C₁C，即C₁A₁EC是平行四邊形，
∴A₁C₁∥EC．…（7分）
∵B₁B⊥BC，B₁B⊥AB，
∴B₁B⊥面ABC，
∴B₁B⊥EC． …（9分）
由CA=CB，得EC⊥AB，
∴EC⊥平面ABB₁A₁．…（10分）
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
∵A₁C₁?平面C₁AA₁，
∴平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，對(duì)判定定理的熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．