【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的點.
(Ⅰ)求證:平面⊥平面;
(Ⅱ)若是的中點,且二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)要證面面垂直,就要證線面垂直,首選尋找直線垂直,在底面直角梯形中,,可證得,又可得,從而有平面,從而可得面面垂直;(Ⅱ)結合(Ⅰ)的證明,為了求直線與平面所成的角,以為原點,為軸,垂直于的直線為軸,為軸,建立空間直角坐標系,這樣易寫出各點坐標,同時設后分別可得,求出平面和平面的法向量,由二面角與法向量夾角的關系求得,由向量和的夾角(或補角)與直線和平面所成的角互余可得結論.
試題解析:(Ⅰ)證明:平面ABCD,平面ABCD,,
,,
,.
又,面,面.
平面,
∵平面,平面平面
(Ⅱ)以為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,
則C(0,0,0),(1,1,0),(1,-1,0)
設(0,0,)(),則(,,),
,,,
取=(1,-1,0)
則,為面的法向量
設為面的法向量,則,
即,取,,,則,
依題意,,則
于是.
設直線與平面所成角為,則,
即直線與平面所成角的正弦值為
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【題目】如圖,墻上有一壁畫,最高點A離地面4米,最低點B離地面2米.觀察者從距離墻x(x>1)米,離地面高a(1≤a≤2)米的C處觀賞該壁畫,設觀賞視角∠ACB=θ.
(1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠時,視角θ最大?
(2)若tanθ= ,當a變化時,求x的取值范圍.
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【題目】已知過點的動直線與拋物線:相交于兩點.當直線的斜率是時,.
(1)求拋物線的方程;
(2)設線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為,短軸長為,直線與橢圓交于、兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與圓相切,探究是否為定值,如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
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【題目】已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為,短軸長為,直線與橢圓交于、兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與圓相切,探究是否為定值,如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當 時, 恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)當 時,研究函數(shù)的零點個數(shù);
(Ⅲ)求證: (參考數(shù)據(jù): ).
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【題目】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點.
(1)求線段的中點的軌跡的方程;
(2)是否存在實數(shù),使得直線與曲線只有一個交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】設函數(shù)f(x)=2cos2x+ sin2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值及此時的x值
(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間
(3)若x∈[﹣ , ]時,求f(x)的值域.
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