Question

如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AC,AA₁=2AB,∠BAC=90°.

(1)在側棱BB₁上找一點D,使得BC₁⊥AD,并說明理由;

(2)若點D滿足條件(1),求二面角A-DC₁-C的大小.

Answer 1

解:(1)D點滿足4BD=BB₁.

證明如下:連接BA₁,∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴面A₁B₁C₁⊥面ABB₁A₁.

又∵∠BAC=90°,∴C₁A₁⊥A₁B₁.∴C₁A₁⊥面ABB₁A₁.∴C₁A₁⊥BA₁.

由AA₁=2AB,4BD=BB₁得=2.

∴△A₁AB∽△ABD.∴AD⊥A₁B.又∵A₁B∩A₁C₁=A₁,∴AD⊥面A₁BC₁.∴BC₁⊥AD.

由以上證明可知D點唯一存在.(注:也可以用三垂線定理證明.)

(2)過A作AO⊥BC于O,∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴AO⊥面BCC₁B₁.

設AB=a,可得AO=a,

過O作OE⊥DC₁于E,連接AE,由三垂線定理可得∠AEO為二面角ADC₁C的平面角,

連接OC₁、OD,

∵=-S_△BOD--=2aaaa=a=×DC₁×OE=a×OE,∴OE=a.

∴tan∠AEO=.∴二面角A-DC₁-C的大小為arctan.