分析:(Ⅰ)連接CN,易證AC⊥平面BCC1B1.由勾股定理可得CN的值,進(jìn)而可得MN的長;
(Ⅱ)取AB中點(diǎn)D,連接DM,DB1,可得四邊形MDB1N為平行四邊形,可得MN∥DB1,由線面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1;(Ⅲ)當(dāng)Q為CC1中點(diǎn)時,有A1B⊥平面MNQ. 連接BC1,易證QN⊥BC1.可得A1B⊥QN,A1B⊥MQ,由線面垂直的判定可得.
解答:解:(Ⅰ)連接CN,因為ABC-A
1B
1C
1是直三棱柱,
所以CC
1⊥平面ABC,所以AC⊥CC
1,…(2分)
因為AC⊥BC,所以AC⊥平面BCC
1B
1. …(3分)
因為MC=1,CN=
=
,
所以MN=
…(4分)
(Ⅱ)證明:取AB中點(diǎn)D,連接DM,DB
1 …(5分)
在△ABC中,因為M為AC中點(diǎn),所以DM∥BC,DM=
BC.
在矩形B
1BCC
1中,因為N為B
1C
1中點(diǎn),所以B
1N∥BC,B
1N=
BC.
所以DM∥B
1N,DM=B
1N.所以四邊形MDB
1N為平行四邊形,所以MN∥DB
1. …(7分)
因為MN?平面ABB
1A
1,DB
1?平面ABB
1A
1…(8分)
所以MN∥平面ABB
1A
1. …(9分)
(Ⅲ)解:線段CC
1上存在點(diǎn)Q,且Q為CC
1中點(diǎn)時,有A
1B⊥平面MNQ. …(11分)
證明如下:連接BC
1,
在正方形BB
1C
1C中易證QN⊥BC
1.
又A
1C
1⊥平面BB
1C
1C,所以A
1C
1⊥QN,從而NQ⊥平面A
1BC
1.…(12分)
所以A
1B⊥QN. …(13分)
同理可得A
1B⊥MQ,所以A
1B⊥平面MNQ.
故線段CC
1上存在點(diǎn)Q,使得A
1B⊥平面MNQ. …(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行于垂直的判定,熟練掌握判定定理是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.