Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)C₁到平面AB₁M的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明線面平行，通常利用線面平行的判定定理，這里我們可以利用中位線的性質(zhì)，得到線線平行；
（Ⅱ）先作出二面角的平面角，再進(jìn)行求解，過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，連接ON，可證∠MON是二面角B-AB₁-M的平面角，在直角△OMN中，可求二面角B-AB₁-M的大小；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)C₁到平面AB₁M的距離為d，利用=，可求點(diǎn)C₁到平面AB₁M的距離．
解答：（I）證明：連接A₁B，交AB₁于O，連接OM
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以O(shè)是A₁B的中點(diǎn)
因為O，M分別是A₁B和BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥A₁C
因為A₁C?面AB₁M，OM?面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M
（Ⅱ）解：過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，連接ON
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁，可知ON是OM在平面ABB₁A₁內(nèi)的射影
又O是A₁B的中點(diǎn)，則OM⊥A₁B，∴AB₁⊥ON
故∠MON是二面角B-AB₁-M的平面角
∵CA=2，∴，AB₁=2
∴
在直角△OMN中，
∴二面角B-AB₁-M的大小為30°；
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)C₁到平面AB₁M的距離為d，由=得
．
∴
∴點(diǎn)C₁到平面AB₁M的距離為
點(diǎn)評：證明線面平行，通常運(yùn)用線面平行的判定定理，求面面角遵循：作證求的步驟，利用等體積，可解決點(diǎn)到面的距離問題．