Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l交此拋物線于不同的兩個點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂））
（1）當直線l過點M（-p，0）時，證明y₁•y₂為定值；
（2）當y₁y₂=-p時，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；
（3）記N（p，0），如果直線l過點M（-p，0），設(shè)線段AB的中點為P，線段PN的中點為Q．問是否存在一條直線和一個定點，使得點Q到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：l過點M（-p，0）與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在，
設(shè)l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0時不合題意），
由得k•y²-2py+2p²k=0，
∴．
（2）①當直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0時不合題意）．
由得ky²-2py+2pb=0．
∴，從而．
假設(shè)直線l過定點（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，
從而，得，即，即過定點（，0）．
②當直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，，
∴，
解得，即，也過（，0）．
綜上所述，當y₁y₂=-p時，直線l過定點（，0）．
（3）依題意直線l的斜率存在且不為零，
由（1）得點P的縱坐標為，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．
設(shè)Q（x，y），則，消k得，
由拋物線的定義知存在直線，點，點Q到它們的距離相等．
分析：（1）易判斷直線l有斜率且不為0，設(shè)l：y=k（x+p），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達定理即可證明；
（2）分情況討論：①當直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b（k≠0），代入拋物線方程消掉x得y的二次方程，由韋達定理及y₁y₂=-p得b，k的關(guān)系式，假設(shè)直線l過定點（x₀，y₀），則y₀=kx₀+b，用k消掉b即可得到定點坐標；
②當直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入拋物線方程易求y₁y₂，由已知可求得x₀，可判斷此時直線也過該定點；
（3）易判斷直線l存在斜率且不為0，由（1）及中點坐標公式可得y_P，代入直線l方程得x_P，設(shè)Q（x，y），由中點坐標公式可得點Q軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)k后即得其普通方程，由方程及拋物線定義可得準線、焦點即為所求；
點評：本題考查直線方程、拋物線方程及其位置關(guān)系，考查分類討論思想，考查學生探究問題解決問題的能力，綜合性較強，有難度．