Question

已知拋物線C：y²=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒為定值．

Answer 1

分析：（I）由題意得M（1，0），直線l的方程為y=x-1與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得圓心坐標(biāo)與圓的半徑，從而可得圓的方程；
（II）若存在這樣的點(diǎn)M，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

為定值，直線l：x=ky+m與拋物線方程聯(lián)立，計(jì)算|AM|，|BM|，利用

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒為定值，可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（I）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x₀，y₀），
由題意得M（1，0），直線l的方程為y=x-1．（2分）
由

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0，
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，∴x0=

x1+x2

2

=3，y0=x0-1=2．（4分）
故圓心為P（3，2），直徑|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=8．
∴以AB為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=16．（6分）
（II）若存在這樣的點(diǎn)M，使得

1

|AM|2

+

1

|BM|2

為定值，直線l：x=ky+m．
由

x=ky+m y2=4x

，∴y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
又∵|AM|2=

y

2 1

(1+k2)，|BM|2=

y

2 2

(1+k2)，
∴

1

|AM|2

+

1

|BM|2

=(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

)•

1

1+k2

=

1

1+k2

•

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

1+k2

•

16(k2+ m 2 )

16m2

，（13分）
因?yàn)橐�與k無關(guān)，只需令

m

2

=1，即m=2，進(jìn)而

1

|AM|2

+

1

|BM|2

=

1

4

．
所以，存在定點(diǎn)M（2，0），不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動，

1

|AM|2

+

1

|BM|2

恒為定值

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．