Question

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．

(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

 

Answer 1

（1）（2）不可能

【解析】(1)由橢圓W：＋y2＝1，知B(2,0)．

因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分，所以可設(shè)A(1，t)，代入＋y2＝1，得t＝±.∴|AC|＝2|t|＝.

因此菱形的面積S＝|OB|·|AC|＝×2×＝.

(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形．

因點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由，消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則

，

∴線段AC中點M .因為M為AC和OB的交點，∴kOB＝－.

又k·＝－≠－1，∴AC與OB不垂直．

故四邊形OABC不是菱形，這與假設(shè)矛盾．

所以，當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形