【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中ab

(1)當a=90時,求紙盒側(cè)面積的最大值;

(2)試確定ab,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.

【答案】(1)當x時,紙盒的側(cè)面積的最大值為平方厘米;

(2)當ab=60,x=10時紙盒的體積最大,最大值為16000立方厘米.

【解析】試題分析:(1)矩形紙板的面積為,故當時, ,列出關(guān)于紙盒側(cè)面積函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得最大值;

(2)列出盒子體積的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值,即可得到結(jié)論。

試題解析:

(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3600,故當a=90時,b=40,

從而包裝盒子的側(cè)面積

S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)

=-8x2+260x,x∈(0,20) .

因為S=-8x2+260x=-8(x)2,

故當x時,側(cè)面積最大,最大值為 平方厘米.

答:當x時,紙盒的側(cè)面積的最大值為平方厘米.

(2)包裝盒子的體積

V=(a-2x)(b-2x) xx[ab-2(ab)x+4x2],x∈(0,),b≤60.

V=x[ab-2(ab)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)

x(3600-240x+4x2)

=4x3-240x2+3600x. 當且僅當a=b=60時等號成立.

設(shè)f (x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30).

則f ′ (x)=12(x-10)(x-30).

于是當0<x<10時,f ′ (x)>0,所以f (x)在(0,10)上單調(diào)遞增;

當10<x<30時,f ′ (x)<0,所以f (x)在(10,30)上單調(diào)遞減.

因此當x=10時,f (x)有最大值f (10)=16000, 此時ab=60,x=10.

答:當ab=60,x=10時紙盒的體積最大,最大值為16000立方厘米.

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B.(13,49)
C.(3,7)
D.(9,49)

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