Question

已知函數(shù)f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的極值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+|x-a|（a為實(shí)常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式（x²-1）f（x）≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的極值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)h（x）=f（x）+|x-a|（a為實(shí)常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；
（3）注意：①適當(dāng)變形后研究函數(shù)h（x）；②當(dāng)k＞2時，區(qū)間（1，k-1）是如何找到的．

解答： 解：（1）g （x）=lnx-x+1，g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，
可得g （x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故g （x）有極大值為g （1）=0，無極小值．
（2）h（x）=lnx+|x-a|．
當(dāng)a≤0時，h（x）=lnx+x-a，h′（x）=1+

1

x

＞0恒成立，此時h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，h（x）=

lnx+x-a，x≥a lnx-x+a，0＜x＜a

①當(dāng)x≥a時，h（x）=lnx+x-a，h′（x）=1+

1

x

＞0恒成立，此時h（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜x＜a時，h（x）=lnx-x+a，h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
當(dāng)0＜a≤1時，h′（x）＞0恒成立，此時h（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時，當(dāng)0＜x＜1時h′（x）＞0，當(dāng)1≤x＜a時h′（x）≤0，
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤1時，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)a＞1時，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，+∞）；減區(qū)間為（1，a）．
（3）不等式（x²-1）f （x）≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，
即（x²-1）lnx≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x恒成立．
當(dāng)0＜x＜1時，x²-1＜0；lnx＜0，則（x²-1）lnx＞0；
當(dāng)x≥1時，x²-1≥0；lnx≥0，則（x²-1）lnx≥0．
因此當(dāng)x＞0時，（x²-1）lnx≥0恒成立．
又當(dāng)k≤0時，k（x-1）²≤0，故當(dāng)k≤0時，（x²-1）lnx≥k（x-1）²恒成立．
下面討論k＞0的情形．
當(dāng)x＞0且x≠1時，（x²-1）lnx-k（x-1）²=（x²-1）[lnx-

k(x-1)

x+1

]．
設(shè)h（x）=lnx-

k(x-1)

x+1

（ x＞0且x≠1），h′（x）=

1

x

-

2k

(x+1)2

=

x2+2(1-k)x+1

x(x+1)2

．
記△=4（1-k）²-4=4（k²-2k）．
①當(dāng)△≤0，即0＜k≤2時，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，+∞）上單調(diào)遞增．
于是當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，又x²-1＜0，故（x²-1）h（x）＞0，即（x²-1）lnx＞k（x-1）²．
當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，又x²-1＞0，故（x²-1）h（x）＞0，即（x²-1）lnx＞k（x-1）²．
又當(dāng)x=1時，（x²-1）lnx=k（x-1）²．
因此當(dāng)0＜k≤2時，（x²-1）lnx≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x恒成立．
②當(dāng)△＞0，即k＞2時，設(shè)x²+2（1-k）x+1=0的兩個不等實(shí)根分別為x₁，x₂（x₁＜x₂）．
函數(shù)φ（x）=x²+2（1-k）x+1圖象的對稱軸為x=k-1＞1，
又φ（1）=4-2k＜0，于是x₁＜1＜k-1＜x₂．
故當(dāng)x∈（1，k-1）時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，從而h（x）在（1，k-1）在單調(diào)遞減；
而當(dāng)x∈（1，k-1）時，h（x）＜h（1）=0，此時x²-1＞0，于是（x²-1）h（x）＜0，即（x²-1）lnx＜k（x-1）²，
因此當(dāng)k＞2時，（x²-1）lnx≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x不恒成立．
綜上，當(dāng)（x²-1）f （x）≥k（x-1）²對一切正實(shí)數(shù)x恒成立時，k≤2，即k的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的最值為載體考查分類討論思想．第三問比較難，兩個注意：①適當(dāng)變形后研究函數(shù)h（x）；②當(dāng)k＞2時，區(qū)間（1，k-1）是如何找到的．