Question

（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面，，是的中點，作交于點

(1) 證明//平面；

(2) 證明⊥平面；

(3) 求二面角——的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）證明：見解析；（3）二面角——的大小為  

【解析】

試題分析：（1）連結，交于O，連結

  ∵底面是正方形，∴點O是的中點

  在中，是中位線，∴ // ， 得到證明。

（2）∵⊥底面且底面，

∴∵，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線，

∴   推理得到平面

又且，所以⊥平面  （3）由（2）知，，

故是二面角——的平面角 

解：（1）證明：連結，交于O，連結

  ∵底面是正方形，∴點O是的中點

  在中，是中位線，∴ //       …（1分）

  而平面EDB且平面，

  所以， // 平面                      …（3分）

（2）證明：∵⊥底面且底面，

∴

∵，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線，

∴    ①                                           …（4分）

同樣由⊥底面，得⊥

∵底面是正方形，有DC⊥，∴⊥平面       …（5分）

而平面，∴    ②

由①和②推得平面

而平面，∴                             …（7分）

又且，所以⊥平面            …（8分）

（3）解：由（2）知，，

故是二面角——的平面角                       …（9分）

由（2）知，

設正方形ABCD的邊長為則

， ，

在中，

在中，，                …（11分）

∴   所以，二面角——的大小為        …（12分）

（說明：也可用向量法）

考點：本題主要是考查線面平行和線面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的求解問題。

點評：解決該試題的關鍵是利用線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理來得到證明，以及三垂線定理求解二面角的平面角。