Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）設g（x）=

1+k•f′(x)

x

，（x≠0），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由導數(shù)的運算法則可得f′（x）=x²-2ax+a²-1．由于函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．可得

f(1)=2 f′(1)=-1

，解出即可；
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

．由導數(shù)的運算法則可得f′（x）=x²-2x，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）可得：g（x）=

1+k•f′(x)

x

=

1+k(x2-2x)

x

=kx+

1

x

-2k，（x≠0），x∈[1，2]．進而得到g′(x)=k-

1

x2

=

kx2-1

x2

．
對k分類討論：當k≤0時，當k＞0時，再討論當

1 k

≥2時，當

1 k

≤1時，當1＜

1 k

＜2時，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得出極值與最值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1．
∵函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
∴

f(1)=2 f′(1)=-1

，即

1 3 -a+a2-1+b=2 1-2a+a2-1=-1

，解得

a=1 b= 8 3

．
∴a=1，b=

8

3

．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

．
f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得極大值，f（0）=

8

3

；在x=2時取得極小值，f（2）=

4

3

．
（3）g（x）=

1+k•f′(x)

x

=

1+k(x2-2x)

x

=kx+

1

x

-2k，（x≠0），x∈[1，2]．
g′(x)=k-

1

x2

=

kx2-1

x2

．
當k≤0時，g′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，最小值為g（2）=2k+

1

2

-2k=

1

2

．
當k＞0時，g′（x）=

k(x+ 1 k )(x- 1 k )

x2

．
當

1 k

≥2，即0＜k≤

1

4

時，g′（x）≤0，此時函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，最小值為g（2）=2k+

1

2

-2k=

1

2

．
當

1 k

≤1時，即k≥1時，g′（x）≥0，此時函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，最小值為g（1）=k+1-2k=1-k．
當1＜

1 k

＜2時，即

1

4

＜k＜1時，當1≤x＜

1 k

時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，

1 k

)單調(diào)遞減；
當

1 k

＜x≤2時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）在區(qū)間(

1 k

，2]單調(diào)遞增．
∴函數(shù)g（x）在x=

1 k

時取得極小值，即最小值，g(

1 k

)=2

k

-2k．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導數(shù)的幾何意義、切線方程，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．