Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB（O為原點(diǎn)）面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由 ，得 ．再由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+2．將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0．再由根的判別式和韋達(dá)定理能夠求出三角形面積的最大值．
解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由 ，
得 ．   ①…（2分）
由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，得．    ②…（3分）
聯(lián)立①②，解得 b=1，．  …（4分）   
所以橢圓C的方程是 ．  …（5分）
（Ⅱ）解：易知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
消去y得 （1+3k²）x²+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，． …（9分）
所以 ．     …（10分）
因?yàn)?nbsp;，
設(shè) k²-1=t（t＞0），
則 ．   …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
此時△AOB面積取得最大值．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形最大面積的計(jì)算．考查運(yùn)算推理能力和計(jì)算求解能力，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．