Question

已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？
若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
試證明：直線過定點(diǎn)．

Answer 1

（1）
（2）存在，
（3）詳見解析

解：（1）由題意，得： 
所以 ， 解，得 ，所以橢圓的方程為： ；
（2）設(shè)直線 的方程為： ，代入，得：
 
 恒成立.
設(shè)線段的中點(diǎn)為 ，
則 ，
由 得： ，
所以直線 為直線 的垂直平分線，
直線的方程為： ，
令 得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050606999696.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以，所以.
所以線段 上存在點(diǎn) 使得，其中.
證明：設(shè)直線 的方程為：，代入，得：
，
由，得： ，
設(shè) ，則
 ，
則直線的方程為 ，
令 得： 
 ，
所以直線 過定點(diǎn) .