Question

已知

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），

c

=(-sin

x

2

，cos

x

2

)且x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（1）求函數(shù)f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=

a

•

b

-2k|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,分類討論,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式和兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的增區(qū)間，計(jì)算即可所求區(qū)間；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及二次函數(shù)的最值問題，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，分類討論即可得到k．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
函數(shù)f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|=2（sin

3

2

xcos

x

2

-cos

3

2

xsin

x

2

）+

a 2+ b 2+2 a • b

=2sinx+

1+1+2cos2x

=2（sinx+cosx）=2

2

sin（x+

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
令k=0，有-

3π

4

≤x≤

π

4

，
則有單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

2

，

π

4

]；
（2）g（x）=cos2x-2k•2cosx=2cos²x-4kcosx-1
=2（cosx-k）²-1-2k²，
由x∈[-

π

2

，

π

2

]，cosx∈[0，1]，
當(dāng)k≤0時(shí)，有cosx=0，取得最小值，且為-1，不成立；
當(dāng)k≥1時(shí)，有cosx=1，取得最小值，且為2-4k-1=-

3

2

，即有k=

5

8

，不成立；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，有cosx=k，取得最小值，且為-1-2k²=-

3

2

，解得k=

1

2

（-

1

2

舍去），成立．
則有k的取值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查二倍角公式和兩角和差的余弦公式的運(yùn)用，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．