【題目】如圖,是一個三棱錐,
是圓的直徑,
是圓上的點,
垂直圓所在的平面,
,
分別是棱
,
的中點.
(1)求證:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)可證,
,再利用
可得
,
,從而可證
平面
.
(2)可證為二面角
的平面角,再以
為坐標(biāo)原點,
,
,
方向分別為
軸,
軸,
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
. 求出平面
的法向量和直線
的方向向量后可求
與平面
所成角的正弦值.
(1)因為是圓的直徑,所以
.
因為垂直圓所在的平面,且
在該平面中,所以
.
因為,
分別是棱
,
的中點,
所以,所以
,
又因為,所以有
平面
.
(2)由(1)可知,,
,
所以為二面角
的平面角,
從而有,則
.
又,
,得
.
以為坐標(biāo)原點,
,
,
方向分別為
軸,
軸,
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.
則,
,
,
,
,
,
,
,
.
設(shè)是平面
的法向量,則
即可取
.
故.
所以直線與平面
所成角的正弦值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解居民的家庭收人情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了戶家庭進(jìn)行問卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在
元到
元之間,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左至右第一 、二、四小組的頻率之比為
,且第四小組的頻數(shù)為
.
(1)求;
(2)求這戶家庭月收人的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果精確到
);
(3)這戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取
戶家庭,并從這
戶家庭中隨機(jī)抽取
戶家庭進(jìn)行慰問,求這
戶家庭月收入都不超過
元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動,這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項是,接下來的兩項是
,再接下來的三項是
,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)
且該數(shù)列的前
項和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形為正方形,
平面
,四邊形
與四邊形
也都為正方形,連接
,點
為
的中點,有下述四個結(jié)論:
①; 、
與
所成角為
;
③平面
; 、
與平面
所成角為
.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,多面體中,
,平面
⊥平面
,四邊形
為矩形,
∥
,點
在線段
上,且
.
(1)求證:⊥平面
;
(2)若,求多面體
被平面
分成的大、小兩部分的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場預(yù)測,
產(chǎn)品的利潤與投資額成正比(如圖1),
產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)
(注:利潤與投資額的單位均為萬元)
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤
、
表示為投資額
的函數(shù);
(2)該團(tuán)隊已籌集到10 萬元資金,并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:當(dāng)
產(chǎn)品的投資額為多少萬元時,生產(chǎn)
兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤,最大利潤為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
過點
,
為其焦點,過
且不垂直于
軸的直線
交拋物線
于
,
兩點,動點
滿足
的垂心為原點
.
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:動點在定直線
上,并求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形
是邊長為
的正方形,點
在底面
上的射影為底面
的中心點
,點
在棱
上,且
的面積為1.
(1)若點是
的中點,求證:平面
平面
;
(2)在棱上是否存在一點
使得二面角
的余弦值為
?若存在,求出點
的位置;若不存在,說明理由.
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