Question

己知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），設(shè){a_n}的前n項和為S_n，則使S_n＜-4成立的自然數(shù)n（　　）

• A、有最大值15
• B、有最小值15
• C、有最大值31
• D、有最小值31

Answer 1

分析：根據(jù)題中已知數(shù)列{a_n}的通項公式求出其前n項和的S_n的表達(dá)式，然后令S_n＜-4即可求出n的取值范圍，即可知n有最小值．

解答：解：由題意可知；a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
設(shè){a_n}的前n項和為S_n=log₂

2

3

+log₂

3

4

+…+log₂

n

n+1

+log₂

n+1

n+2

，
=[log₂2-log₂3]+[log₂3-log₂4]+…+[log₂n-log₂（n+1）]+[log₂（n+1）-log₂（n+2）]
=[log₂2-log₂（n+2）]=log₂

2

n+2

＜-4，
即

2

n+2

＜2^-4
解得n＞30，
∴使S_n＜-4成立的自然數(shù)n有最小值為31，
故選D．

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．