Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=18，a_n+1-a_n=3n，則

an

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用疊加法求數(shù)列的通項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，可求

an

n

的最小值．

解答： 解：∵a_n+1-a_n=3n，a₁=18，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=18+3[（1+2+…+（n-1）]=18+

3(n-1)(1+n-1)

2

=18+

3

2

n（n-1），
∴

an

n

=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
設(shè)f（x）=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
∴f′（x）=-

18

x2

+

3

2

，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＞2

3

，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＜2

3

，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=2

3

時函數(shù)有最小值，
∵f（3）=

18

3

+

3×3

2

-

3

2

=9，f（4）=

18

4

+

12

2

-

3

2

=9，
∴當(dāng)n=3，或n=4時，則

an

n

的最小值為9，
故答案為：9

點(diǎn)評：本題考查疊加法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，正確確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．