已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（1，
3
2
），且長軸長等于4．
（I）求橢圓C的方程；
（II）F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，⊙O是以F1，F(xiàn)2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若
OA
•
OB
=-
3
2
，求k的值．
（I）有題義長軸長為4，即2a=4，解得：a=2，
∵點(1，
3
2
)在橢圓上，∴
1
4
+
9
4b2
=1 解得：b2=3
橢圓的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）由直線l與圓O相切，得：
|m|
1+k2
=1，即：m2=1+k2
設A（x1，y1）B（x2，y2）    由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
  消去y，
整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2
4m2-12
3+4k2
+km(-
8km
3+4k2
)+m2=
3m2-12k2
3+4k2
∴x1x2+y1y2=
4m2-12
3+4k2
+
3m2+2k2
3+4k2
=
7m2-12k2-12
3+4k2

∵m2=1+k2∴x1x2+y1y2=
-5-5k2
3+4k2
=-
3
2
，
解得：k2=
1
2
，
∴k的值為：±
2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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