Question

在二項(xiàng)式（2x-3y）⁹的展開(kāi)式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和； 
（2）各項(xiàng)系數(shù)之和； 
（3）所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和； 
（4）系數(shù)絕對(duì)值的和．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2ⁿ，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）在二項(xiàng)式（2x-3y）⁹的展開(kāi)式中，令x=1，y=1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和．
（3）在所給的等式中，令x=1，y=1得到一個(gè)式子，再令x=1，y=-1，又可得一個(gè)式子，將兩式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈的值．
（4）由題意可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|即為（2x+3y）⁹展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，令x=1，y=1得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|的值．

解答： 解：（1）在二項(xiàng)式（2x-3y）⁹的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2ⁿ=2⁹．
（2）在二項(xiàng)式（2x-3y）⁹的展開(kāi)式中，令x=1，y=1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為a₀+a₁+a₂+…+a₉=（2-3）⁹=-1．
（3）令x=1，y=1，∴a₀+a₁+a₂+…+a₉=（2-3）⁹=-1．
令x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…-a₉=5⁹，
將兩式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=

59-1

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，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．
（4）由題意可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|即為（2x+3y）⁹展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，
令x=1，y=1得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=5⁹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，在二項(xiàng)展開(kāi)式中，通過(guò)給變量賦值，求得某些項(xiàng)的系數(shù)和，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．