Question

已知拋物線C：x²=2py過點(diǎn)P(1，

1

2

)，直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)直線l過點(diǎn)Q時(shí)，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)適合拋物線方程，直接求出p即可．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y=kx+b．聯(lián)立

y=kx+b x2=2y

，利用△＞0時(shí)，以及韋達(dá)定理得到x₁+x₂，x₁x₂，推出N（1，0），M（1，k+b），通過△PAM與△PBN的面積相等，得到（x₁-1）²=1，解得x₁=0或x₁=2．所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，說明結(jié)果即可．

解答： 解：（1）∵P(1，

1

2

)在拋物線C上，∴1=2p•

1

2

，得p=1．  …（3分）
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y=kx+b．
聯(lián)立

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0，
當(dāng)△=4k²+8b＞0時(shí)，有x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b．         …（6分）
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2b-2k+1（*）
由題意知，N（1，0），M（1，k+b），
因?yàn)椤鱌AM與△PBN的面積相等，所以

1

2

|PN|•|1-x2|=

1

2

|PM|•|1-x1|，
即|1-x2|=2|k+b-

1

2

|•|x1-1|，
也即|1-x₂|=|2k+2b-1|•|x₁-1|…（10分）
根據(jù)（*）式，得（x₁-1）²=1，解得x₁=0或x₁=2．此時(shí)A（0，0）或（2，2），
直線AB：y=kx或y=kx+2k-2，
所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，
即l過Q（0，0）或Q （2，2）時(shí)，滿足條件．                      …（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．