【題目】已知定點(diǎn)M(﹣ ),N是圓C:(x﹣ )2+y2=16(C為圓心) 上的動(dòng)點(diǎn),MN的垂直平分線與NC交于點(diǎn)E.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1;
(2)直線l與軌跡C1交于P,Q兩點(diǎn),與拋物線C2:x2=4y交于A,B兩點(diǎn),且拋物線C2在點(diǎn)A,B處的切線垂直相交于S,設(shè)點(diǎn)S到直線l的距離為d,試問(wèn):是否存在直線l,使得d= ?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:依題意有:|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以M,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓.
于是: ,從而 ,故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1為:
(2)解:設(shè)直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3)Q(x4,y4),由 ,
得:x2﹣4kx﹣4m=0,故x1+x2=4k,x1x2=﹣4m.
由x2=4y得: ,即切線斜率 .
于是: ,
由PA⊥PB得; ,
解得:m=1,
這說(shuō)明直線l過(guò)拋物線C2的焦點(diǎn)F,由 ,
得: 即S(2k,﹣1).
于是:點(diǎn)S(2k,﹣1)到直線l:kx﹣y+1=0的距離 ,
由 得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,
從而 ,
同理:|AB|=4(1+k2),
由 得 ,
化簡(jiǎn)整理,得:28k4+36k2+7=0,此方程無(wú)解,
所以不存在直線l,使得
【解析】(1)由題意可知::|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以M,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓,分別求得a、b和c的值,求得動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1;(2)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求得x1+x2及x1x2 , 利用導(dǎo)數(shù)法求得直線PA和PB的斜率,由PA⊥PB,求得m的值,直線l過(guò)拋物線C2的焦點(diǎn)F,求得交點(diǎn)S的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,求得S到到直線l:kx﹣y+1=0的距離d,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得丨PQ丨及|AB|,由 ,求得28k4+36k2+7=0,此方程無(wú)解,不存在直線l,使得 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=sinx
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F1(﹣1,0),離心率e=.
(1)求橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線l1:y=kx+m1與橢圓G交于 A,B兩點(diǎn),直線l2:y=kx+m2(m1≠m2)與橢圓G交于C,D兩點(diǎn),且|AB|=|CD|,如圖所示.
①證明:m1+m2=0;
②求四邊形ABCD 的面積S 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),并滿(mǎn)足:
1)f(x)=2axg(x),(a>0,a≠1);
2)g(x)≠0;
3)f(x)g′(x)<f′(x)g(x)且 + =5,則a= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,x2}與B={1,4}是它的子集,
(1)求UB;
(2)若A∩B=B,求x的值;
(3)若A∪B=U,求x.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)當(dāng) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對(duì)任意, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),求函數(shù)y=g(x)﹣f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)在其定義域中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的( )
A.y=x+1
B.y=﹣x2
C.y=x|x|
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中,正確的是
·(1)任取x>0,均有3x>2x;
·(2)當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),有a3>a2;
·(3)y=( )﹣x是減函數(shù);
·(4)函數(shù)f(x)在x>0時(shí)是增函數(shù),x<0也是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);
·(5)若函數(shù)f(x)=ax2+bx+2與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則b2﹣8a<0且a>0;
·(6)y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區(qū)間為[1,+∞).
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