Question

設(shè)f（x）是定義在[2m，2-m]上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a，b∈[2m，2-m]，a-b≠0時(shí)，都有．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）解不等式f（2x-3）＞f（x+1）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）利用條件證得函數(shù)f（x）在[-4，4]上是單調(diào)減函數(shù)，從而可解不等式．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是定義在[2m，2-m]上的奇函數(shù)，所以2m+2-m=0，m=-2．
（Ⅱ）m=-2時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閇-4，4]
設(shè)x₁，x₂∈[-4，4]且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0∵對(duì)任意a，b∈[-4，4]，當(dāng)a-b≠0時(shí)，都有．∴∵x₁-x₂＜0∴f（x₁）＞f（x₂）∴f（x₁）-f（x₂）＞0
所以，函數(shù)f（x）在[-4，4]上是單調(diào)減函數(shù)．
由f（2x-3）＞f（x+1）得解得，
所以原不等式的解集為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，由此逆向運(yùn)用單調(diào)性解不等式，需要注意函數(shù)的定義域．