Question

(14分)已知拋物線、橢圓、雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）求這三條曲線方程；

（Ⅱ）若定點(diǎn)P(3，0)，A為拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為

∵M(jìn)(1，2)在拋物線上，∴ 即p＝2

∴拋物線方程為，焦點(diǎn)為(1，0)                     ………3分

∵橢圓、雙曲線與共焦點(diǎn)，且對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，分別設(shè)其方程為

，

∵橢圓、雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)

∴解得

∴橢圓與雙曲線的方程分別為、

                                                      ………7分

（Ⅱ）設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，則

又P(3，0)，以AP為直徑的圓的半徑

圓心B為AP中點(diǎn)，∴B，設(shè)直線l：x＝n，則圓心B到l的距離d=

則弦長(zhǎng)u＝２＝

        ＝

當(dāng)n＝２時(shí)，u為定值，∴滿足題意的直線l存在，其方程為x＝２

                                                            ………14分