Question

已知中心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）試判斷以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)，知，由此能求出橢圓的離心率．
（2）以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，以AF為直徑的圓的方程為，由此能推導(dǎo)出以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切．
解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，
∵橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)，
∴橢圓的右焦點(diǎn)為F‘（1，0），
∴，|AF′|=，
∴，
∴a=2．c=1，
所以，離心率．（6分）
（2）由已知得，以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，
圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，（8分）
以AF為直徑的圓的方程為，
圓心坐標(biāo)為（0，），半徑為，（10分）
由于兩圓心之間的距離為，
故以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓離心率的求法，考查兩圓位置關(guān)系的判斷．具體涉及到橢圓和圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、兩圓的位置關(guān)系的判斷等基本知識(shí)點(diǎn)，是難題．