Question

已知中心在坐標(biāo)軸原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）試判斷以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)，知

c=1 2a=|AF|+|AF′|=4

，由此能求出橢圓的離心率．
（2）以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，以AF為直徑的圓的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

 ，由此能推導(dǎo)出以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），且點(diǎn)F（-1，0）為其左焦點(diǎn)，
∴橢圓的右焦點(diǎn)為F‘（1，0），
∴|AF|=

4+ 9 4

=

5

2

，|AF′|=

0+ 9 4

=

3

2

，
∴

c=1 2a=|AF|+|AF′|=4

，
∴a=2．c=1，
所以，離心率e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）由已知得，以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，
圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，（8分）
以AF為直徑的圓的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

 ，
圓心坐標(biāo)為（0，

3

4

），半徑為

5

4

，（10分）
由于兩圓心之間的距離為

(0-0)2+( 3 4 -0)2

=

3

4

=2-

5

4

，
故以AF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓離心率的求法，考查兩圓位置關(guān)系的判斷．具體涉及到橢圓和圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、兩圓的位置關(guān)系的判斷等基本知識(shí)點(diǎn)，是難題．