Question

在周長(zhǎng)為16的△PMN中，MN=6，則

PM

•

PN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積公式表示出向量的數(shù)量積；利用三角形的余弦定理求出向量的夾角余弦；通過(guò)求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸求出范圍．

解答：解：設(shè)PM=x，則PN=10-x，∠MPN=θ
所以

PM

•

PN

=x（10-x）cosθ
在△PMN中，由余弦定理得cosθ=

(10-x)2+x2-36

2(10-x)x

∴

PM

•

PN

=x2-10x+32（2＜x＜8）
分析可得當(dāng)x=5時(shí)最小為7，且

PM

•

PN

＜16，
即

PM

•

PN

的取值范圍是[7，16）；
故答案為[7，16）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、三角形的余弦定理、二次函數(shù)的最值求法．