【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2lnx,h(x)=x2﹣x+a.
(1)其求函數(shù)f(x)的極值;
(2)設函數(shù)k(x)=f(x)﹣h(x),若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f′(x)=2x﹣ ,令f′(x)=0,∵x>0,∴x=1,

所以f(x)的極小值為1,無極大值


(2)解:∵

x

(0,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

_

0

+

f(x)

1

又∵k(x)=f(x)﹣g(x)=﹣2lnx+x﹣a,

∴k′(x)=﹣ +1,

若k′(x)=0,則x=2

當x∈[1,2)時,f′(x)<0;

當x∈(2,3]時,f′(x)>0.

故k(x)在x∈[1,2)上遞減,在x∈(2,3]上遞增.

,∴ ,∴2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3.

所以實數(shù)a的取值范圍是:(2﹣2ln2,3﹣2ln3]


【解析】(I)先在定義域內(nèi)求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況,來確定極值;(2)先求出函數(shù)k(x)的解析式,然后研究函數(shù)k(x)在[1,3]上的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點,建立不等關系 ,最后解之即可.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計算得, , ,其中為抽取的第個零件的尺寸,

(1)求 的相關系數(shù),并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變。ㄈ,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小).

(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

(。⿵倪@一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?

(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)

附:樣本 的相關系數(shù),

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【題目】已知為等差數(shù)列,前n項和為, 是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0, ,, .

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(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.

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【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.
(1)求直線A1D與AM所成角的余弦值;
(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=48x﹣x3 , x∈[﹣3,5]
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(2)求最值.

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A. 是偶數(shù)?;6 B. 是偶數(shù)?;8

C. 是奇數(shù)?;5 D. 是奇數(shù)?;7

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A. B. C. D.

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(2)若不等式f(x)>0的解集為(﹣1,3),求實數(shù)a,b的值.

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