Question

若拋物線(xiàn)y²=ax上恒有關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是（　�。�

A．（- 4 3 ，0）

B．（0， 3 4 ）

C．（0， 4 3 ）

D．（-∞，0）∪（ 4 3 ，+∞）

Answer 1

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線(xiàn)上，所以有y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得，y12-y22=a(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

a

y1+y2

，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=a．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

a

2

．
又M在直線(xiàn)x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-

a

2

．
則M（1-

a

2

，

a

2

）．
因?yàn)镸在拋物線(xiàn)內(nèi)部，所以y02-ax0＜0．
即

a2

4

-a(1-

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范圍是（0，

4

3

）．
故選C．