Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求a的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f′（-x）=-f′（x）得到a的值即可；
（2）先求出f′（x）因?yàn)閍的取值決定了f′（x）的正負(fù)，所以分兩種情況討論a的取值范圍即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a，
∵f'（x）是奇函數(shù)，
∴f′(-x)=

e-x-1

2(e-x+1)

=-f′(x)，于是a=

1

2

．
（2）f′(x)=

ex

ex+1

-a=

(1-a)ex-a

ex+1

，
①當(dāng)a≥1時(shí)，恒有f'（x）＜0，∴f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）＞0得（1-a）e^x-a＞0∴ex＞

a

1-a

∴x＞ln

a

1-a

，
∴當(dāng)x∈(ln

a

1-a

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-∞，ln

a

1-a

)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在(ln

a

1-a

，+∞)上單調(diào)遞增；在(-∞，ln

a

1-a

)上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)能力，函數(shù)單調(diào)性的判定，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．