Question

某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)1百臺(tái)，需增加投入 0.25萬元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為5百臺(tái)（即產(chǎn)量多于5百臺(tái)時(shí)，由于市場(chǎng)需求只能售出5百臺(tái)，但一直要照常增加投入成本）．則當(dāng)售出x百臺(tái)時(shí)，收入（萬元）為x的函數(shù)：R（x）=5x-

x2

2

，0≤x≤5．請(qǐng)解答：
（1）分別寫出成本函數(shù)C（x）；
（2）把利潤表示為年產(chǎn)量的和函數(shù)L（x）；
（3）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為0.5萬元，每生產(chǎn)1百臺(tái)，需增加投入 0.25萬元，由此能求出當(dāng)產(chǎn)量為x百臺(tái)時(shí)，成本函數(shù)C（x）．
（2）由市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為5百臺(tái)，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能售出x臺(tái)，x＞5時(shí)，只能售出5百臺(tái)，由此能求出利潤函數(shù)．
（3）由（2）知：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，當(dāng)x＞5時(shí)，L（x）=12-0.25，由此能求出工廠所得利潤最大時(shí)的年產(chǎn)量．

解答：解：（1）∵生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為0.5萬元，每生產(chǎn)1百臺(tái)，需增加投入 0.25萬元，
∴當(dāng)產(chǎn)量為x百臺(tái)時(shí)，成本函數(shù)C（x）=0.5+0.25x，x＞0．…（2分）
（2）∵市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為5百臺(tái)，
∴當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能售出x臺(tái)，x＞5時(shí)，只能售出5百臺(tái)，故利潤函數(shù)為：
L（x）=R（x）-C（x）=

(5x- x2 2 )-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 (5×5- 52 2 )-(0.5+0.25x)，x＞5

=

4.75x- x2 2 -0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

．…（8分）
3）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，
當(dāng)x=4.75時(shí)，得L（x）_max=L（4.75）=10.8萬元；…（10分）
當(dāng)x＞5時(shí)，L（x）=12-0.25，利潤在12-0.25×5=10.75萬元以下，
故生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析題設(shè)條件中的數(shù)量關(guān)系，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．