Question

函數(shù)f（x）=

1

2

（a ^x+a ^-x），（a＞0且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2，

41

9

），求f（x）．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2，

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9

），可以求出a的值，然后求f（x）．

解答： 解：（1）函數(shù)定義域為R，
∵f（x）=

1

2

（a ^x+a ^-x），（a＞0且a≠1）．
∴f(-x)=

1

2

(ax+a-x)=f(x)，
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵f（x）的圖象過點（2，

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9

）
∴

1

2

（a²+a^-2）=

41

9

，
即9a⁴-82a²+9=0，
解得a²=9或a²=

1

9

∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=

1

3

．  
即f(x)=

1

2

(3x+3-x)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)解析式的求法，考查學生的計算能力．