Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切；
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為-

3

的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，可得圓心M的軌跡是以定點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，定直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可得方程；
（2）直線方程代入拋物線的方程，求出A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閯?dòng)圓M過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，
所以由拋物線定義知：圓心M的軌跡是以定點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，定直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以圓心M的軌跡方程為y²=4x------（4分）
（2）由題知，直線AB的方程為y=-

3

(x-1)------（5分）
所以

y=- 3 (x-1) y2=4x

，可得3x²-10x+3=0，
∴x=

1

3

或x=3．
∴A(

1

3

，

2 3

3

)，B(3，-2

3

)------（6分）（或用弦長(zhǎng)公式或用定義均可），
∴|AB|=

(3- 1 3 )2+(-2 3 - 2 3 3 )2

=

16

3

---------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．