Question

【題目】已知非單調(diào)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，a1＝，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且滿足S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn；

(2)bn＝＋，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1)由已知S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列構(gòu)造方程解出公比q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可求出an與Sn；(2)由(1)求出bn＝(－1)nn2＋，前半部分利用分類(lèi)法和等差數(shù)列求和公式求和，后半部分利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和．

(1)∵S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，

∴2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

∴a3＝4a5，q2＝，q＝－，

an＝·n－1，

∴Sn＝1－n.

(2)bn＝(－1)nn2Sn＋＝(－1)nn2＋＝(－1)nn2＋.

設(shè)(－1)nn2的前n項(xiàng)和為Hn，的前n項(xiàng)和為Qn

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Hn＝－12＋22－32＋42＋…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n＝，

Qn＝1×＋2×2＋…＋n×n�、�

Qn＝1×2＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1　②

①－②得， Qn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝1－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝＋2－＝－

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Hn＝－n2＝－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝－＋2－＝－－

綜合①②，∴Tn＝