如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,為側(cè)棱上的點。

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若平面,求二面角的大小;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側(cè)棱上是否存在一點, 使得平面。若存在,求的值;若不存在,試說明理由。

 

 

 

【答案】

解法一:

(Ⅰ);連,設(shè)交于,由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別為軸、軸、軸正方向,建立坐標(biāo)系如圖。

設(shè)底面邊長為,則高。   于是    

           

      故           從而  

(Ⅱ)由題設(shè)知,平面的一個法向量,平面的一個法向量,設(shè)所求二面角為,則,所求二面角的大小為

(Ⅲ)在棱上存在一點使.由(Ⅱ)知是平面的一個法向量,

且  

設(shè)        則     

而           即當(dāng)時,       

不在平面內(nèi),故

解法二:(Ⅰ)連BD,設(shè)AC交BD于O,由題意。在正方形ABCD中,,所以,得.

(Ⅱ)設(shè)正方形邊長,則。

,所以,

,由(Ⅰ)知,所以,     

,所以是二面角的平面角。

,知,所以,

即二面角的大小為。

Ⅲ)在棱SC上存在一點E,使

由(Ⅱ)可得,故可在上取一點,使,過的平行線與的交點即為。連BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.

【解析】略

 

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(Ⅱ)求二面角的大小.

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上的點,且.     

(Ⅰ)求證:;

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如圖,四棱錐的底面是邊長為的菱形,

,平面的中點,O為底面對角線的交點;

(1)求證:平面平面; 

(2)求二面角的正切值。

 

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