對集合A，如果存在x使得對任意正數(shù)a，都存在x∈A，使0＜|x-x|＜a，則稱x為集合A的“聚點”，給出下列四個集合：
①；
②{x∈R|x≠0}；
③；
④Z．
其中以0為“聚點”的集合是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】分析：利用“聚點”的定義可得①的聚點是1，②的聚點是0，③的聚點是0，而④無聚點．
解答：解：①令f（n）=，則=，即f（n）=當(dāng)n∈N時單調(diào)遞增，則1為其“聚點”，下面給出證明：
取x=1，對任意正數(shù)a，要使成立，只要取正整數(shù)，故1是其“聚點”；
②由實數(shù)的稠密性可知：對任意正數(shù)a，都存在x=∈{x∈R|x≠0}，使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的“聚點”；
③∵，由（1）可知：0為集合{}，根據(jù)“聚點”的定義可知，0是其聚點；
④?n∈Z，且n≠0，則|n|≥1，故取0＜a＜1，則不存在x∈Z，使0＜|x-x|＜a成立，根據(jù)“聚點”的定義可知：所給集合不存在聚點．
綜上可知：只有②③正確；
故選A．
點評：正確理解函數(shù)的單調(diào)性、實數(shù)的稠密性、聚點的定義是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湛江二模）對集合A，如果存在x0使得對任意正數(shù)a，都存在x∈A，使0＜|x-x0|＜a，則稱x0為集合A的“聚點”，給出下列四個集合：
①{
n
n+1
|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{
1
n
|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0為“聚點”的集合是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對集合A，如果存在x0使得對任意正數(shù)a，都存在x∈A，使0＜|x-x0|＜a，則稱x0為集合A的“聚點”，給出下列四個集合：
①{
n
n+1
|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{
1
n
|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0為“聚點”的集合是（　　）
A．②③B．①②C．①③D．②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省連云港市東�？h高級中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（解析版） 題型：解答題

A是定義在[2，4]上且滿足如下兩個條件的函數(shù)Φ（x）組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）設(shè)，證明：Φ（x）∈A；
（2）設(shè)Φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=Φ（2x），那么，這樣的x是唯一的；
（3）設(shè)Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年北京市延慶縣高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么這樣的x是唯一的．

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