Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a_n滿足

an+1

an

-

2an

an+1

=1（n∈N^*），且a₁+a₂+a₃=a₄-2．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：7•4ⁿ⁺¹＞3n+1（n∈N^*）
（Ⅲ）若n∈N^*，令b_n=a_n²，設(shè)數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n（n∈N^*），試比較

Tn+1+12

4Tn

與

4n+6

4n-1

的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）先整理

an+1

an

-

2an

an+1

=1得2a_n=a_n+1，進(jìn)而得數(shù)列{a_n}公比為2的等比數(shù)列；再借助于a₁+a₂+a₃=a₄-2求出首項(xiàng)
即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先推得n=1時不等式成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式7•4^k+1＞3k+1成立，借助于放縮法即可證明n=k+1時不等式成立，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）把（Ⅰ）的結(jié)論代入整理可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公比是4的等比數(shù)列，即可求出T_n（n∈N*），再對

Tn+1+12

4Tn

與

4n+6

4n-1

作差整理即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

an

-

2an

an+1

=1，
a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，
∴2a_n=a_n+1所以數(shù)列{a_n}為公比為2的等比數(shù)列
由a₁+a₂+a₃=a₄-2得a₁+2a₁+4a₁=8a₁-2，解得a₁=2
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ（n∈N*）
（Ⅱ）①當(dāng)n=1時，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式顯然成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式7•4^k+1＞3k+1成立
當(dāng)n=k+1時，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
綜上①②對任意的n∈N*均有7•4ⁿ⁺¹＞3n+1
（Ⅲ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b1=4，

bn+1

bn

=4
即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公比是4的等比數(shù)列
所以Tn=

4

3

(4n-1)，

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

又

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

∴

Tn+1+12

4Tn

-

4n+6

4n-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n+1)

(4n-1)(4n-1)

＜0
所以對任意的n∈N*均有

Tn+1+12

4Tn

＜

4n+6

4n-1

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及數(shù)列與不等式的綜合問題．本題的第二問涉及到了數(shù)學(xué)歸納法的證明，應(yīng)注意其證明過程．