如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G，H分別是線段PA，PD，CD，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）求二面角C-EF-G的余弦值．

【答案】分析：（Ⅰ）先證明E、F、G、H四點(diǎn)共面，再利用三角形中位線的性質(zhì)證明EH∥PB，利用線面平行的判定證明PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）證明∠BEH為二面角C-EF-G的平面角，利用余弦定理即可求二面角C-EF-G的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)，∴GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．
又H為AB的中點(diǎn)，∴EH∥PB，
∵EH?面EFGH，PB?平面EFGH，∴PB∥面EFGH；
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，
∴AD⊥AB，AD⊥PA
∵AB∩PA=A
∴AD⊥平面PAB
∵EF∥AB
∴EF⊥平面PAB
∴∠BEH為二面角C-EF-G的平面角
△BEH中，BH=1，EH=，BE=，∴cos∠BEH==．
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（1）求證：DP∥平面ANC；
（2）求證：M是PC中點(diǎn)；
（3）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：AD∥MN；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點(diǎn)；
（3）求四棱錐M-DEBC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖22，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn).

圖22

（1）求證：EN∥平面PCD；

（2）求證：平面PBC⊥平面ADMN；

（3）求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.

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