給定an=
1
n+1
+
n
(n∈N*)，則使a1+a2+…+ak為整數(shù)的最小正整數(shù)k的值是
3
3
．
分析：由an=
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
可考慮利用裂項(xiàng)求出a1+a2+…+ak=
k+1
-1，根據(jù)題意可得k+1為完全平方數(shù)，從而可求
解答：解：因?yàn)?span id="glx3uzk" class="MathJye">an=
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n

所以，a1+a2+…+ak=
2
-1+
3
-
2
+…+
k+1
-
k

=
k+1
-1
要使得
k+1
-1為整數(shù)，則k+1為完全平方數(shù)，則當(dāng)k=3時(shí)符合條件
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得到和之后，能夠發(fā)現(xiàn)k+1為完全平方數(shù)得關(guān)鍵條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+
1
n
)an+
1
n
(n∈N*)
（1）設(shè)bn=
an
n
，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意給定的正整數(shù)m，使得不等式an+t≥2m（n∈N*）成立的所有n中的最小值為m+2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•廣東模擬）給定函數(shù)f(x)=
x2
2(x-1)

（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列{an}滿足，4Sn•f(
1
an
)=1，求證：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）設(shè)bn=-
1
an
，Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和，求證：T2012-1＜ln2012＜T2011．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a＞1）是否存在這樣的數(shù)列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

給定an=
1
n+1
+
n
(n∈N*)，則使a1+a2+…+ak為整數(shù)的最小正整數(shù)k的值是______．

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