Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

(n∈N*)
（1）設(shè)bn=

an

n

，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若對任意給定的正整數(shù)m，使得不等式a_n+t≥2m（n∈N^*）成立的所有n中的最小值為m+2，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

(n∈N*)變形構(gòu)造得出

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，即有bn+1-bn =

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，用疊加法能求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由（1）a_n=2n-1代入所給的不等式，解此關(guān)于n的不等式，解集內(nèi)最小正整數(shù)為m+2，再建立相關(guān)不等式求t的取值范圍．

解答：解：（1）由an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，
即bn+1-bn =

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴b2-b1 =1-

1

2

b3-b2 =

1

2

-

1

3

…
bn-bn-1 =

1

n-1

-

1

n

，
以上各式相加得bn-b1=2-

1

n

，bn=2-

1

n

（n≥2）
又b₁=a₁=1，也適合上式，∴bn=2-

1

n

．
（2）由

an

n

=bn=2-

1

n

?an=2n-1，
則an+t≥2m?2n-1+t≥2m?n≥m+

1-t

2

，
據(jù)題意，區(qū)間[m+

1-t

2

，+∞)內(nèi)的最小正整數(shù)為m+2，
所以m+1＜m+

1-t

2

≤m+2，
解得-3≤t＜-1

點評：本題考查數(shù)列通項公式、疊加法求通項、不等式恒成立．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、分析解決問題、計算、邏輯思維等能力．