【題目】如圖,在四棱柱中,側(cè)棱底面, , , , ,且點和分別為和的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)求出兩個平面的法向量,可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.
試題解析:
(1)證明:如圖,以A為坐標(biāo)原點,以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系,
則A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,﹣2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,﹣2,2),
又∵M、N分別為B1C、D1D的中點,∴M(1,,1),N(1,﹣2,1).
由題可知: =(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量, =(0,﹣,0),
∵=0,MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;
(2)解:由(I)可知: =(1,﹣2,2),=(2,0,0),=(0,1,2),
設(shè)=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,
由,得,
取z=1,得=(0,1,1),
設(shè)=(x,y,z)是平面ACB1的法向量,
由,得,
取z=1,得=(0,﹣2,1),
∵cos<,>==﹣,∴sin<,>==,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù),
(1)當(dāng)時,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集為空集,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】根據(jù)下面的要求,求滿足1+2+3+…+n>500的最小的自然數(shù)n.
(1)畫出執(zhí)行該問題的程序框圖;
(2)以下是解決該問題的一個程序,但有2處錯誤,請找出錯誤并予以更正.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若時, 恒成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin cos ﹣ sin2 .
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[﹣π,0]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為( ,0)
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+ 與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且 >2(其中O為原點).求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線和定點, 是此曲線的左、右焦點,以原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程;
(2)經(jīng)過點且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于兩點,求的值.
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