（2012•廣州一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限相交于點A，試探究在橢圓C上存在多少個點B，使△OAB為等腰三角形．（簡要說明理由，不必求出這些點的坐標）
分析：（1）根據(jù)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為3，確定a，c，利用b2=a2-c2，求出b2，從而可以求橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，確定A的坐標，進而分類討論，探究橢圓C上存在的點B，使△OAB為等腰三角形．
解答：解：（1）由于短軸一個端點到右焦點的距離為3，則a=3…（1分），
因為e=
c
a
=
6
3
…（2分），所以c=
6
…（3分），
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以橢圓C的方程為：
x2
9
+
y2
3
=1…（5分）
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立
x2
9
+
y2
3
=1
y=x
（x＞0），解得x=y=
3
2
，即A(
3
2
，
3
2
)…（6分）
以O為頂點的等腰三角形△OAB有兩個，此時B為A關于x軸或y軸的對稱點…（8分），
以A為頂點的等腰三角形△OAB有兩個（9分），此時B為以A為圓心、AO為半徑的圓弧與橢圓C的交點…（10分），
以AO為底邊的等腰三角形△OAB有兩個（11分），此時B為AO的垂直平分線與橢圓C的交點…（12分）．
因為直線y=x傾斜角為
π
4
，所以以上等腰△OAB不可能是等邊三角形…（13分），
即以上6個三角形互不相同，存在6個點B，使△OAB為等腰三角形…（14分）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查學生的探究能力，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學成績．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個小組的數(shù)學成績的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙組四名同學數(shù)學成績的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數(shù)學成績之差的絕對值為X，求隨機變量X的分布列和均值（數(shù)學期望）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若對任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）設函數(shù)f（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），gn(x)=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
（n∈N*）．
（1）證明：f（x）≥g1（x）；
（2）當x＞0時，比較f（x）與gn（x）的大小，并說明理由；
（3）證明：1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)n≤gn(1)＜e（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
，
b
=-k•
e1
+t•
e2
，若
a
⊥
b
，則實數(shù)k和t滿足的一個關系式是
t3-3t-4k=0
t3-3t-4k=0
，
k+t2
t
的最小值為
-
7
4
-
7
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知平面向量
a
=(1，3)，
b
=(-3，x)，且
a
∥
b
，則
a
•
b
=（　�。�

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