Question

設函數(shù)f（x）=2x²+

1

2

，g（x）=ln（2ex）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的最小值；
（2）是否一定存在一次函數(shù)h（x），使得f（x）≥h（x）≥g（x）對一切x∈（0，+∞）恒成立？若存在，求出h（x）的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用導數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=1，從而得h（

1

2

）=1，于是h（x）可表示為關于k的一次函數(shù)，根據(jù)f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，從而可求得h（x）表達式，再驗證h（x））≥g（x）對一切x＞0恒成立即可；

解答： 解：（1）y=f（x）-g（x）=2x²+

1

2

-ln（2ex），定義域為{x|x＞0}，
y′=4x-

1

x

=

(2x+1)(2x-1)

x

，易知0＜x＜

1

2

時y′＜0，x＞

1

2

時y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，

1

2

）上遞減，在（

1

2

，+∞）上遞增，
所以x=

1

2

時y=f（x）-g（x）取得最小值為0．
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=1，從而得h（

1

2

）=1，所以可設h（x）=k（x-

1

2

）+1=kx-

k

2

+1（k＞0），
f（x）-h（x）≥0，2x²-kx+

k

2

-

1

2

≥0，△=（k-2）²≤0，k=2．h（x）=2x，
G（x）=h（x）-g（x）=2x-ln（2ex），G′（x）=2-

1

x

，當0＜x＜

1

2

時G′（x）＜0，當x＞

1

2

時G′（x）＞0，易知G（x）≥G（

1

2

）=0，即h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；
綜上，存在h（x）=2x符合題目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）圖象的公切線．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立及函數(shù)與不等式的綜合問題，考查學生分析，問題解決問題
轉(zhuǎn)化計算的能力．