Question

（2012•濟南二模）已知函數(shù)f（x）=

2x-x3(x≤0) ( 1 3 )x-log2x(x＞0)

，若x₀是y=f（x）的零點，且0＜t＜x₀，則f（t）（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．等于0

D．不大于0

Answer 1

分析：當(dāng)x≤0時，f（x）=0無解．當(dāng)x＞0時，由題意可得f（x）=0的解為x=x₀．由于函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x₀）=0，故當(dāng)0＜t＜x₀時，f（t）恒大于零．

解答：解：當(dāng)x≤0時，f（x）=2^x-x³，由 f（x）=0得 2^x-x³=0，此方程無解．
當(dāng)x＞0時，f（x）=(

1

3

)x-log₂x，由f（x）=0得 (

1

3

)x-log₂x=0，即 (

1

3

)x=log₂x，
由題意可得此方程的解為x=x₀．
由于函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x₀）=0，
∴當(dāng)0＜t＜x₀時，f（t）恒大于零，
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．