Question

如圖，在幾何體SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，，∠SDC=120°．
（1）求SC與平面SAB所成角的正弦值；
（2）求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，分別以DC，DE，DA為x，y，z軸建立空間上角坐標(biāo)系，
（1）設(shè)平面SAB的法向量為，利用，得，設(shè)SC與平面SAB所成角為θ，
通過，求出SC與平面SAB所成角的正弦值為．
（2）設(shè)平面SAD的法向量為，利用，得．利用，求出平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是．
解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，
分別以DC，DE，DA為x，y，z軸建立空間上角坐標(biāo)系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，則點(diǎn)S到y(tǒng)軸的距離為1，到x軸的距離為．
則有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）

（1）設(shè)平面SAB的法向量為，
∵．
則有，取，
得，又，
設(shè)SC與平面SAB所成角為θ，
則，
故SC與平面SAB所成角的正弦值為．（9分）
（2）設(shè)平面SAD的法向量為，
∵，
則有，取，得．
∴，
故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．