Question

如圖，在幾何體SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，，∠SDC=120°．
（1）求SC與平面SAB所成角的正弦值；
（2）求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：如圖，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，分別以DC，DE，DA為x，y，z軸建立空間上角坐標(biāo)系，
（1）設(shè)平面SAB的法向量為

n

=(x，y，z)，利用

2x-z=0 -x+ 3 y-2z=0

，得

n

=(

3

，5，2

3

)，設(shè)SC與平面SAB所成角為θ，
通過sinθ=|cos＜

SC

，

n

＞|=

2 3

2 3 ×2 10

=

10

20

，求出SC與平面SAB所成角的正弦值為

10

20

．
（2）設(shè)平面SAD的法向量為

m

=(x，y，z)，利用

-2z=0 -x+ 3 y-2z=0

，得

m

=(

3

，1，0)．利用cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |×| m |

=

8

2 10 ×2

=

10

5

，求出平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是

10

5

．

解答：解：如圖，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，
分別以DC，DE，DA為x，y，z軸建立空間上角坐標(biāo)系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，則點S到y(tǒng)軸的距離為1，到x軸的距離為

3

．
則有D（0，0，0），S(-1，

3

，0)，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）

（1）設(shè)平面SAB的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

AB

=(2，0-1)，

AS

=(-1，

3

，-2)．
則有

2x-z=0 -x+ 3 y-2z=0

，取x=

3

，
得

n

=(

3

，5，2

3

)，又

SC

=(3，-

3

，0)，
設(shè)SC與平面SAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

SC

，

n

＞|=

2 3

2 3 ×2 10

=

10

20

，
故SC與平面SAB所成角的正弦值為

10

20

．（9分）
（2）設(shè)平面SAD的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

AD

=(0，0-2)，

AS

=(-1，

3

，-2)，
則有

-2z=0 -x+ 3 y-2z=0

，取x=

3

，得

m

=(

3

，1，0)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |×| m |

=

8

2 10 ×2

=

10

5

，
故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是

10

5

．（14分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空間想象能力，計算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．